Jin,
j'ai regardé ta vidéo et relu tous les posts et à mon avis ton problème serait plutôt un problème électrique mineur mais terriblement efficace comme anti démarrage mieux que le HISS ..Bon je rigole un peu mais pas drôle pour toi.
Sur la vidéo on voit que le phare est bien allumé et qu'il a la pêche, que lorsque tu actionnes le démarreur le phare se coupe (normal) et que le démarreur tourne bien mais qu'il ne se passe rien ..........

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Un défaut de batterie non, elle est récente.
Un défaut d'alternateur non, car sinon cela ferait bien longtemps que tu rechargerais la batterie tous les jours pour démarrer vu le nombre d'essais que tu fais.
Soit un problème de starter mal "géré", tu vas me dire

et je pense que tu connais mieux ta moto que moi et c'est normal.
Après il reste les bougies, les carburateurs mais on en a déjà parlé et rien de ce coté.
Il reste un problème électrique surtout flagrant lorsque tu actionnes le démarreur et qui est moins sensible à la poussette.
Je pense à une oxydation de contacts ou à un mauvais serrage des cosses, soit le coupe circuit, le contact (clé), le fin de course d'embrayage, le contacteur de neutre et de béquille latérale. Tout ce petit monde peut perturber le démarrage. Donc il faut vérifier le bon serrage des fils et s'assurer du bon fonctionnement des contacts après nettoyage au WD40 ou une bombe à contact pour l'électronique.
Dans le circuit de démarrage ci dessous emprunté à une varadero125 carbu de 2006 (principe identique à ta 600 carbu ) on voit que contacteur de neutre (neutral) ou d'embrayage (clutch) de béquille (side) et de contact (starter) peuvent s'ils sont oxydés amener une résistance et perturber le module d'allumage.
Principe démarrage.jpg
Dans l'autre schéma de principe pour la commande d'allumage aux bougies on retrouve les mêmes plus le coupe circuit de sécurité et les fameuses diodes qui sont emboitées comme un fusible (voir dans la notice).
Principe démarrage étincelles.jpg
Pour moi je pense que le problème se situe sur un de ces contacts ou sur une "modification électrique" non réalisée avec rigueur.
En espérant t'avoir été utile.

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